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三维旋转变换和局部正交标架(Rotation and Frame)


[TOC] !还有问题,基本思路是对的

1 局部正交标架

在欧式空间中,笛卡尔坐标系是指从一点及引出三个互相正交的单位向量 ${O,i,j,k}$,其中 $i,j,k$的方向符合右手系。 在欧式空间中,存在许多正交标架,称为局部正交标架簇。

2 三维旋转变换

三维标架变换意味着将一个正交标架变化到另一个正交标架,标架在变换过程中保持了刚性。 如图1所示,有两个局部正交标架 ${O,i,j,k}$ 和 ${P,e_i,e_2,e_3}$

其中,令

补充图1,两个局部正交标架O(i,j,k) P(e1,e2,e3)

用标架 $F,F’$表示两个局部标架, $T$代表从$F$到$F’$的旋转变换

因此

这样就可求得旋转变换 $T$

3 坐标点在标架中的转换

从一个标架到另一个标架是刚体变换,同样的,将标架 $F$中的点 $M(x,y,z)$ 变换到标架 $F’$ 中,坐标变为 $M’(x’,y’,z’)$ ,也是一个刚体变换,即变换后点 $M$在 ${O,i,j,k}$ 中的相对位置与 $M’$ 在 ${e_1,e_2,e_3}$ 的相对位置相同。即

我们可将 $M(x,y,z)$ 表示为

因此

所以,

反过来


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